Jak najdete všechna řešení 2cos ^ 2x-sinx-1 = 0?

# 2 cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # pro

#x v {(3pi) / 2 + 2npi, pi / 6 + 2npi, (5pi) / 6 + 2npi} # # kde #nv ZZ #

Řešit: # 2cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # (1)

Nejprve vyměňte # cos ^ 2 x # podle # (1 - sin ^ 2 x) #

# 2 (1 - sin ^ 2 x) - sin x - 1 = 0 #.

Volání # sin x = t #, my máme:

# -2t ^ 2 - t + 1 = 0 #.

Toto je kvadratická rovnice formuláře # at ^ 2 + bt + c = 0 # které lze vyřešit pomocí zástupce:

#t = (-b + - sqrt (b ^ 2 -4ac)) / (2a) #

nebo faktoring # - (2t-1) (t + 1) = 0 #

Jeden skutečný kořen je # t_1 = -1 # a druhá je # t_2 = 1/2 #.

Dále řešit 2 základní funkce:

# t_1 = sin x_1 = -1 #

# rarr # # x_1 = pi / 2 + 2npi # (pro #nv ZZ #)

a

# t_2 = sin x_2 = 1/2 #

# rarr # # x_2 = pi / 6 + 2npi #

nebo

# rarr # # x_2 = (5pi) / 6 + 2npi #

Zkontrolujte rovnici (1):

#cos (3pi / 2) = 0; sin (3pi / 2) = -1 #

#x = 3pi / 2 rarr 0 + 1 - 1 = 0 # (opravit)

#cos (pi / 6) = (sqrt 3) / 2 rarr 2 * cos ^ 2 (pi / 6) = 3/2; sin (pi / 6) = 1/2 #.

#x = pi / 6 rarr 3/2 - 1/2 - 1 = 0 # (opravit)