Jak byste určili rovnici kružnice, která prochází body D (-5, -5), E (-5,15), F (15,15)?

Odpovědět:

Nahraďte každý bod rovnicí kruhu, vytvořte 3 rovnice a odečtěte ty, které mají alespoň 1 společnou souřadnici (#X# nebo # y #).

Odpověď je:

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Vysvětlení:

Rovnice kruhu:

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

Kde #α# #β# jsou souřadnice středu kruhu.

Náhrada za každý daný bod:

Bod D

#(-5-α)^2+(-5-β)^2=ρ^2#

#(-(5+α))^2+(-(5+β))^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(5+β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+5^2+2*5β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2# (Rovnice 1)

Bod E

#(-5-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2# (Rovnice 2)

Bod F

#(15-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#15^2-2*15α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2# (Rovnice 3)

Podružné rovnice #(1)-(2)#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#40β-200=0#

#β=200/40#

#β=5#

Podružné rovnice #(2)-(3)#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2#

#40α-200=0#

#α=200/40#

#α=5#

Teď tohle #α# a #β# jsou známy, nahradí je v kterémkoli z bodů (použijeme bod #D (-5, -5) #):

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

#(-5-5)^2+(-5-5)^2=ρ^2#

#(-10)^2+(-10)^2=ρ^2#

#2(-10)^2=ρ^2#

#ρ^2=200#

Rovnice kruhu se tak stává:

#α=5#

#β=5#

#ρ^2=200#

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Odpovědět:

Rovnice kruhu je # (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Vysvětlení:

Nejprve musíme najít rovnici dvou čar, z nichž každá je kolmá na segmenty tvořené párem daných bodů a prochází středem této dvojice bodů.

Vzhledem k tomu, že body D a E (# x_D = x_E = -5 #) jsou v přímce rovnoběžné s osou-Y (# x = 0 #) a body E a F (t# y_E = y_F = 15 #) jsou v přímce rovnoběžné s osou-X (# y = 0 #) je vhodné vybrat si tyto dvojice bodů.

Rovnice čáry DE, kde # x_D = x_E = -5 #

# x = -5 #

Rovnice přímky 1 kolmá k DE a procházející středem #M_ (DE) #

#M_ (DE) ((x_D + x_E) / 2, (y_D + y_E) / 2) # => #M_DE (-5, 5) #

řádek 1# -> y = 5 #

Rovnice čáry EF, kde # y_E = y_F = 15 #

# y = 15 #

Rovnice čáry 2 kolmá k EF a procházející středem #M_ (EF) #

#M_ (EF) ((x_E + x_F) / 2, (y_E + y_F) / 2) # => #M_EF (5,15) #

řádek 2# -> x = 5 #

Kombinace rovnic řádků 1 a 2 (# y = 5 # a # x = 5 #) nacházíme střed kruhu, bod C

#C (5,5) #

Vzdálenost mezi bodem C a některým z uvedených bodů se rovná poloměru kruhu

# R = d_ (CD) = sqrt ((- 5-5) ^ 2 + (- 5-5) ^ 2) = sqrt (100 + 100) = sqrt (200) #

Ve vzorci rovnice kružnice:

# (x-x_C) ^ 2 + (y-y_C) ^ 2 = R ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #