Jak dokazujete (1 - sin x) / (1 + sin x) = (sec x + tan x) ^ 2?

Odpovědět:

Použijte několik trig identit a zjednodušte. Viz. níže.

Vysvětlení:

Věřím, že v této otázce je chyba, ale není to velký problém. Aby to mělo smysl, měla by otázka znít takto:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx - tanx) ^ 2 #

V každém případě začneme tímto výrazem:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(Při ověřování identit triglyceridů je obecně nejlepší pracovat na straně, která má zlomek).

Použijte úhledný trik s názvem konjugované násobení, kde zlomek násobíme jmenovatelem sdružené:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

Konjugát # a + b # je # a-b #, takže konjugát # 1 + sinx # je # 1-sinx #; násobíme # (1-sinx) / (1-sinx) # pro vyrovnání frakce.

Všimněte si, že # (1 + sinx) (1-sinx) # je vlastně rozdíl čtverců, které mají vlastnost:

# (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Vidíme to # a = 1 # a # b = sinx #, tak:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2 = 1-sin ^ 2x #

Od Pythagorean Identity # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #z toho vyplývá (po odečtení) # sin ^ 2x # z obou stran), # cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #.

Wow, šli jsme od # (1-sinx) / (1-sinx) # na # 1-sin ^ 2x # na # cos ^ 2x #! Náš problém nyní vypadá takto:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Rozšiřme čitatel:

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(Pamatovat: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #)

Nyní rozdělíme zlomky:

# 1 / cos ^ 2x- (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = sec ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

Jak zjednodušit že ? No, pamatujte si, když jsem řekl: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #'?

Ukázalo se, že # sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # je vlastně # (secx-tanx) ^ 2 #. Pokud necháme # a = secx # a # b = tanx #, vidíme, že tento výraz je:

#underbrace ((a) ^ 2) _secx-2 (a) (b) + underbrace ((b) ^ 2) _tanx #

Což, jak jsem právě řekl, je ekvivalentní # (a-b) ^ 2 #. Nahradit #A# s # secx # a # b # s # tanx # a dostanete:

# sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Dokončili jsme prood:

# (secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #