Jaké jsou testy dělitelnosti různých čísel?

Existuje mnoho testů dělitelnosti. Zde je několik, spolu s tím, jak mohou být odvozeny.

• Celé číslo je dělitelné #2# pokud je poslední číslice sudá.

• Celé číslo je dělitelné #3# je-li součet jeho číslic dělitelný 3.

• Celé číslo je dělitelné #4# jestliže celé číslo tvořené posledními dvěma číslicemi je dělitelné 4.

• Celé číslo je dělitelné #5# pokud je poslední číslice 5 nebo 0.

• Celé číslo je dělitelné #6# pokud je dělitelná 2 a 3.

• Celé číslo je dělitelné #7# jestliže odečítání dvakrát poslední číslice od celého čísla tvořeného odstraněním poslední číslice je násobek 7.

• Celé číslo je dělitelné #8# jestliže celé číslo tvořené posledními třemi číslicemi je dělitelné 8 (toto může být usnadněno tím, že si všimne, že pravidlo je stejné jak pro 4s jestliže stovky číslice je vyrovná, a opak jinak) t

• Celé číslo je dělitelné #9# je-li součet číslic dělitelný číslem 9.

• Celé číslo je dělitelné #10# pokud je poslední číslice #0#

Pro tyto a další věci se podívejte na stránku wikipedia pro pravidla pro dělitelnost.

Nyní se člověk může divit, jak s těmito pravidly přijít, nebo alespoň ukázat, že skutečně budou fungovat. Jedním ze způsobů, jak toho dosáhnout, je typ matematiky nazývaný modulární aritmetika.

V modulární aritmetice vybereme celé číslo # n # jako modul a pak zacházet s každým jiným celým číslem jako s bytím congruent modulo # n # do zbytku, když je dělí # n #. Snadný způsob, jak přemýšlet o tom je, že můžete přidat nebo odečíst # n # bez změny hodnoty celočíselného modulo n. To je stejné jako u analogových hodin, což má za následek dvanáct hodin. Přidání hodin na hodinách je navíc modulo #12#.

Co dělá modulární aritmetiku velmi užitečnou při určování pravidel dělitelnosti je to pro žádný celé číslo #A# a kladné celé číslo # b #Můžeme to říci #A# je dělitelný # b # pokud a pouze tehdy

# a- = 0 "(mod b)" # (#A# je v souladu #0# modulo # b #).

Využijte toho, abychom zjistili, proč pravidlo dělitelnosti pro #3# funguje. Uděláme to pomocí příkladu, který by měl ukázat obecný koncept. V tomto příkladu uvidíme proč #53412# je dělitelný #3#. Pamatujte, že přidání nebo odečtení #3# nezmění hodnotu celočíselného modulo #3#.

#53412# je dělitelný #3# pokud a pouze tehdy # 53412 - = 0 "(mod 3)" #

Ale také, protože #10 -3 -3 -3 = 1#, my máme # 10 - = 1 "(mod 3)" # #

Tím pádem:

# 53412 - = 5 * 10 ^ 5 + 3 * 10 ^ 4 + 4 * 10 ^ 3 + 1 * 10 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

# - = 5 * 1 ^ 5 + 3 * 1 ^ 4 + 4 * 1 ^ 3 + 1 * 1 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

#color (červená) (- = 5 + 3 + 4 + 1 + 2 "(mod 3)") #)

# - = 3 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 "(mod 3)" #

Tím pádem #53412# je dělitelný #3#. Červený krok ukazuje, proč můžeme jednoduše spočítat číslice a zkontrolovat, že namísto pokusu o rozdělení původního čísla o #3#.