Jak zjistíte asymptoty pro y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))?

Odpovědět:

Vertikální

# x = 1 #

# x = 3 #

Horizontální

# x = 1 # (pro oba # + - oo #)

Šikmý

Neexistují

Vysvětlení:

Nechat # y = f (x) #

• Vertikální asymptoty

Najděte hranice funkce, která má tendenci k hranicím své domény kromě nekonečna. Pokud je jejich výsledek nekonečný, pak to #X# linka je asymptota. Doména je zde:

#x in (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Takže 4 možný vertikální asymptoty jsou:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

Asymptota # x-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # Vertikální asymptota pro # x = 1 #

Poznámka: pro # x-1 # od té doby #X# je o něco nižší než 1, výsledek bude o něco nižší než 0, takže znaménko bude záporné, tedy poznámka #0^-# které se později promítá do negativního znamení.

Potvrzení pro asymptotu # x-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -oo # Potvrzeno

Asymptota # x-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # Vertikální asymptota pro # x = 3 #

Potvrzení pro asymptotu # x-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # Potvrzeno

• Horizontální asymptoty

Najděte obě meze, jak funkce inklinuje # + - oo #

Mínus nekonečno #x -> - oo #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1) / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> - oo) (zrušit (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (zrušit (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Horizontální asymptota pro # y = 1 #

Plus nekonečno #x -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1) / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (zrušit (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (zrušit (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Horizontální asymptota pro # y = 1 #

Poznámka: to jen tak se stane, že tato funkce má společnou horizontální pro obě # -oo # a # + oo #. Měli byste vždy zkontrolovat obojí.

• Šikmé asymptoty

Nejprve musíte najít oba limity:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

Pro každý, pokud je tento limit reálné číslo, pak asymptota existuje a limit je jeho sklon. # y # průsečík každého je limit:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

Nicméně, aby nás zachránil problémy, můžete použít některé funkce "znalosti", aby se zabránilo tomuto. Protože víme #f (x) # má horizontální asymptotu pro oba # + - oo # jediný způsob, jak mít šikmý je mít další linku jak #x -> + - oo #. Nicméně, #f (x) # je #1-1# funkce, takže nemůže být dva # y # hodnoty pro jednu #X#, proto druhá linka je nemožná, tak to je nemožné mít šikmé asymptotes.