Otázka č. 9be0d

Odpovědět:

Tato rovnice je aproximací relativistické energie částice pro nízké rychlosti.

Vysvětlení:

Předpokládám určité znalosti o speciální relativitě, totiž že energie pohybující se částice pozorovaná z inerciálního rámce je dána # E = gammamc ^ 2 #, kde # gamma = 1 / sqrt (1- (v / c) ^ 2) # faktor Lorentz. Tady #proti# je rychlost částic pozorovaná pozorovatelem v inerciálním rámu.

Důležitým aproximačním nástrojem pro fyziky je aproximace Taylorovy řady. To znamená, že můžeme přiblížit funkci #f (x) # podle #f (x) přiblížení_ (n = 0) ^ N (f ^ ((n)) (0)) / (n!) x ^ n #, ten vyšší # N #, čím lepší je aproximace. Ve skutečnosti, pro velkou třídu hladkých funkcí toto přiblížení stane se přesné jak # N # jde do # oo #. Všimněte si, že #f ^ ((n)) # znamená n-té derivaci #F#.

Přibližujeme funkci #f (x) = 1 / sqrt (1-x) # pro malé #X#Všimli jsme si, že pokud #X# je malý, # x ^ 2 # bude ještě menší, takže předpokládáme, že můžeme ignorovat faktory tohoto řádu. Takže máme #f (x) ccaf (0) + f '(0) x # (tato konkrétní aproximace je také známa jako Newtonova aproximace). #f (0) = 0 # a #f '(x) = 1 / (2 (1-x) ^ (3/2)) #, tak #f '(0) = 1/2 #. Proto #f (x) přibl. 1 + 1 / 2x #.

Teď si to všimneme # gamma = f ((v / c) ^ 2) #. Opravdu jestli #proti# je malý vzhledem k #C#, který bude v každodenních situacích, aproximace platí, takže # gammaapprox1 + 1/2 (v / c) ^ 2 #. Nahrazuje to v rovnici celkové energie částic # Eapproxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2 #. To nám dává kinetickou energii #E _ ("kin") = E-E_ "odpočinek" cca ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2-mc ^ 2 = 1 / 2mv ^ 2 # pro nízké rychlosti, který je shodný s klasickými teoriemi. Pro vyšší rychlosti je moudré použít více termínů z Taylorovy řady, končících takzvanými relativistickými korekcemi na kinetické energii.