Dva satelity P_ "1" a P_ "2" se otáčejí v drahách o poloměru R a 4R. Poměr maximálních a minimálních úhlových rychlostí čáry spojující P_ "1" a P_ "2" je ??

Odpovědět:

#-9/5#

Vysvětlení:

Podle Keplerova třetího zákona, # T ^ 2 propto R ^ 3 znamená omega propto R ^ {- 3/2} #, je-li úhlová rychlost vnějšího satelitu # omega #, to vnitřního #omega krát (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega #.

Nech nás to zvážit # t = 0 # být okamžikem, kdy jsou oba satelity kolineární s mateřskou planetou, a vezměme si tuto společnou linii jako #X# osa. Potom souřadnice obou planet v čase # t # jsou # (R cos (8omega t), R sin (8omega t)) # a # (4R cos (omega t), 4R sin (omega t)) #, resp.

Nechat # theta # být úhel, který spojuje oba satelity s #X# osa. Je to snadné vidět

#tan theta = (4R sin (omega t) -Rsin (8 omega t)) / (4R cos (omega t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega t) -sin (8 omega t))) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

Diferenciální výnosy

# sec ^ 2 theta (d theta) / dt = d / dt (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

# = (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ - 2 krát #

#qquad (4 cos (omega t) -cos (8 omega t) (4 omega cos (omega t) -8omega cos (8 omega t)) - #

#qquad (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) (- 4omega sin (omega t) +8 omega sin (8 omega t)) # #

Tím pádem

# (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ 2 1 + ((4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega) t))) 2 (d theta) / dt #

# = 4 omega (4 cos ^ 2 (omega t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t)) #

#qquad qquad + (4 sin ^ 2 (omega t) -9 sin (omega t) cos (8 omega t) + 2sin ^ 2 (omega t)) # #

# = 4 omega 6-9cos (7 omega t) implikuje #

# (17 -8 cos (7 omega t)) (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) znamená #

# (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) / (17 - 8 cos (7 omega t)) ekviv. 12 omega f (cos (7 omega t)) #

Kde je funkce

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

má derivát

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

a proto se v intervalu monotonicky snižuje #-1,1#.

To znamená, že úhlová rychlost # (d theta) / dt # je maximální, když #cos (7 omega t) # je minimální a naopak.

Tak, # ((d theta) / dt) "max" = 12 omega (2 - 3 krát (-1)) / (17-8 krát (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega krát 5/25 = 12/5 omega #

# ((d theta) / dt) "min" = 12 omega (2 - 3 krát 1) / (17-8 krát 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega krát (-1) / 9 = -4/3 omega #

a tak je poměr mezi těmito dvěma hodnotami:

# 12/5 omega: -4/3 omega = -9: 5 #

Poznámka Skutečnost, že # (d theta) / dt # změny je příčinou tzv. zjevného retrográdního pohybu