Jaké je řešení diferenciální rovnice dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Odpovědět:

Obecné řešení je:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Vysvětlení:

My máme:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Můžeme shromažďovat termíny pro podobné proměnné:

# 1 / (y-1) ^ 2 # d / dt = e ^ t #

Což je oddělitelná lineární diferenciální rovnice prvního řádu, takže můžeme "oddělit proměnné" dostat:

# int 1 / (y-1) ^ 2 d = int e ^ t d # #

Oba integrály jsou standardními funkcemi, takže tyto znalosti můžeme použít k přímé integraci:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

A my můžeme snadno změnit uspořádání # y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

Vedení k obecnému řešení:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Odpovědět:

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Vysvětlení:

Jedná se o oddělitelnou diferenciální rovnici, což znamená, že může být zapsána ve tvaru:

# dy / dx * f (y) = g (x) #

To lze vyřešit integrací obou stran:

#int f (y) d = int g (x) dx #

V našem případě musíme nejprve oddělit integrál do správné formy. Můžeme to udělat rozdělením obou stran # (y-1) ^ 2 #:

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Nyní můžeme integrovat obě strany:

#int 1 / (y-1) ^ 2 d = int ^ t

#int 1 / (y-1) ^ 2 d = e ^ t + C_1 #

Levý integrál můžeme vyřešit náhradou # u = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 = e ^ t + C_1 #

# u ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

Substituce (a kombinování konstant) dává:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

Vynásobte obě strany podle # y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

Rozdělte obě strany podle # e ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #