Jaký je poločas rozpadu (Na ^ 24), pokud výzkumný asistent vyrobil 160 mg radioaktivního sodíku (Na ^ 24) a zjistil, že zbývá pouze 20 mg o 45 hodin později?

Odpovědět:

#color (modrá) ("Poločas života je 15 hodin.") #

Vysvětlení:

Musíme najít rovnici formuláře:

#A (t) = A (0) e ^ (kt) #

Kde:

#bb (A (t)) = # množství po čase t.

#bb (A (0) = # na začátku. t = 0.

# bbk = # faktor růstu / rozpadu.

# bbe = # Eulerovo číslo.

# bbt = # v tomto případě hodin.

Dostali jsme:

#A (0) = 160 #

#A (45) = 20 #

Musíme to vyřešit # bbk #:

# 20 = 160e ^ (45k) #

Rozdělit 160:

# 1/8 = e ^ (45k) #

Užívání přirozených logaritmů obou stran:

#ln (1/8) = 45kln (e) #

#ln (e) = 1 #

Proto:

#ln (1/8) = 45k #

Rozdělení podle 45:

#ln (1/8) / 45 = k #

#:.#

#A (t) = 160e ^ (t (ln (1/8) / 45)) #

#A (t) = 160e ^ (t / 45 (ln (1/8)) #

#A (t) = 160 (1/8) ^ (t / 45) #

Vzhledem k tomu, že poločas je doba, kdy máme polovinu výchozí částky:

#A (t) = 80 #

Musíme tedy vyřešit:

# 80 = 160 * (1/8) ^ (t / 45) #

# 80/160 = (1/8) ^ (t / 45) #

# 1/2 = (1/8) ^ (t / 45) #

Převzetí přirozených logaritmů:

#ln (1/2) = t / 45ln (1/8) #

# 45 * (ln (1/2)) / (ln (1/8)) = t = 15 #

Poločas rozpadu je 15 hodin.

Odpovědět:

15 hodin

Vysvětlení:

• Rychlý způsob

Jako množství rozpadající se látky se snižuje na polovinu každý poločas rozpadu (odtud název), poloviční částka v krocích vyžaduje 3 kroky, které se mají dostat ze 160 na 20:

• # 160 až 80 až 40 až 20 #

A #45 = 3 * 15#

Takže poločas je 15 let.

• Formálnější způsob

Pro poločas rozpadu # tau #, kde # X (t) # je množství (hmotnost / počet částic / atd.) zbývající v čase t:

#X (t) = X_o (1/2) ^ (t / tau) qquad čtverec #

Tak:

#X (0) = X_o, X (tau) = X_o / 2, X (2tau) = X_o / 4, … #

Zapojení hodnot, které jsou uvedeny #náměstí#:

# 20 = 160 * (1/2) ^ (45 / tau) #

#implies (1/2) ^ (45 / tau) = 1/8 qquad qquad = (1/2) ^ 3 #

#implies 45 / tau = 3 implikuje tau = 15 #