Jaký je rozsah kvadratické funkce f (x) = 5x ^ 2 + 20x + 4?

# (x + 2) ^ 2 = x ^ 2 + 4x + 4 #

# 5 (x + 2) ^ 2 = 5x ^ 2 + 20x + 20 #

Tak

#f (x) = 5x ^ 2 + 20x + 4 #

# = 5x ^ 2 + 20x + 20-16 #

# = 5 (x + 2) ^ 2-16 #

Minimální hodnota #f (x) # nastane, když # x = -2 #

#f (-2) = 0-16 = -16 #

Proto rozsah #f (x) # je # - 16, oo #

Více explicitně, let #y = f (x) #, pak:

#y = 5 (x + 2) ^ 2 - 16 #

Přidat #16# na obě strany:

#y + 16 = 5 (x + 2) ^ 2 #

Rozdělte obě strany podle #5# dostat:

# (x + 2) ^ 2 = (y + 16) / 5 #

Pak

# x + 2 = + -sqrt ((y + 16) / 5) #

Odčítat #2# z obou stran získat:

#x = -2 + -sqrt ((y + 16) / 5) #

Druhá odmocnina bude definována pouze tehdy, když #y> = -16 #, ale pro jakoukoliv hodnotu #y v -16, oo) #, tento vzorec nám dává jednu nebo dvě hodnoty #X# takové #f (x) = y #.