Jaký je obvod pravidelného osmiúhelníku s poloměrem délky 20?

Odpovědět:

Záleží:

Pokud je vnitřní poloměr #20#, pak je obvod:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~ ~ 132,55 #

Pokud je vnější poloměr #20#, pak je obvod:

# 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~ ~ 122,46 #

Vysvětlení:

Červený kruh obklopuje vnější poloměr a zelený kruh vnitřní.

Nechat # r # být vnější poloměr - to je poloměr červeného kruhu.

Pak se vrcholy osmiúhelníku soustředily na #(0, 0)# jsou v:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

Délka jedné strany je vzdálenost mezi # (r, 0) # a # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((r-r / sqrt (2)) ^ 2+ (r / sqrt (2)) ^ 2) #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

Celkový obvod je tedy:

#color (červená) (8r sqrt (2-sqrt (2))) #

Takže pokud je vnější poloměr #20#, pak je obvod:

# 8 * 20 sqrt (2-sqrt (2)) = 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~ ~ 122,46 #

#barva bílá)()#

Vnitřní poloměr bude # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2)) #

Tak #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Pak je celkový obvod

# 8r sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2)) sqrt (2-sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2)) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt ((2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2)))) ((2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2-sqrt (2)) / ((2 + sqrt (2)) (2-sqrt (2))) #

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = barva (zelená) (16r_1 (sqrt (2) -1)) #

Takže pokud je vnitřní poloměr #20#, pak je obvod:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~ ~ 132,55 #

#barva bílá)()#

Jak dobrá aproximace # pi # dává nám to?

Zatímco jsme tady, jaká aproximace # pi # dostaneme průměrováním vnitřních a vnějších poloměrů?

#pi ~ ~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2)) ~ ~ 3.1876 #

… tak moc ne.

Získat co nejlepší aproximaci jako #355/113 ~~ 3.1415929#, čínský matematik Zu Chongzhi používal #24576# (# = 2 ^ 13 xx 3 #) oboustranný polygon a čítací tyče.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi