Jak to rozšířit v sérii Maclaurin? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / tdt

Odpovědět:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n +1) ^ 2 #

Vizuální: Podívejte se na tento graf

Vysvětlení:

Tento integrál jednoznačně nemůžeme hodnotit, protože používá některou z běžných integračních technik, které jsme se naučili. Vzhledem k tomu, že se jedná o určitý integrál, můžeme použít řadu MacLaurin a dělat to, co se nazývá termín termínovou integrací.

Musíme najít MacLaurinovu řadu. Protože nechceme najít n-té derivaci této funkce, budeme ji muset zkusit a zapracovat do jedné ze série MacLaurinů, které již známe.

Za prvé, nemáme rádi # log #; chceme, aby to # ln #. K tomu můžeme jednoduše použít změnu základního vzorce:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Takže máme:

# int_0 ^ xln (1-t) / (tln (10)) dt #

Proč to děláme? Teď si to všimněte # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Proč je to tak zvláštní? Dobře, # 1 / (1-x) # je jednou z našich běžně používaných sérií MacLaurin:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = součet (n = 0) ^ oox ^ n #

…pro všechny #X# na #(-1, 1#

Můžeme tedy tento vztah využít ve svůj prospěch a nahradit #ln (1-t) # s # int-1 / (1-t) dt #, která nám to umožňuje nahradit # ln # s řadou MacLaurin. Uvedení dohromady dává:

#ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

Vyhodnocení integrálu:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

Zrušení # t # termín ve jmenovateli:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) # #

A teď, jsme se rozhodnout, že integrální jsme začali problém s: t

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

Poznámka: Sledujte, jak se nyní nemusíme v tomto problému obávat dělení o nulu, což je problém, který jsme měli v původním integrandu vzhledem k # t # ve jmenovateli. Protože to bylo v předchozím kroku zrušeno, ukazuje, že diskontinuita je odnímatelná, což pro nás funguje dobře.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # hodnoceno z #0# na #X#

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Ujistěte se, že si uvědomujete, že tato série je v intervalu dobrá #(1, 1#, protože řada MacLaurin, kterou jsme použili výše, je v tomto intervalu pouze konvergentní. Podívejte se na tento graf, který jsem udělal, abych získal lepší představu o tom, jak to vypadá.

Doufám, že to pomohlo:)