Pokud má 3x ^ 2-4x + 1 nuly alfa a beta, pak jaký kvadratický má nuly alfa ^ 2 / beta a beta ^ 2 / alfa?

Odpovědět:

Nalézt # alpha # a #beta# První.

Vysvětlení:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

Faktory na levé straně, takže máme

# (3x - 1) (x - 1) = 0 #.

Bez ztráty obecnosti jsou kořeny #alpha = 1 # a #beta = 1/3 #.

# alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # a #(1/3)^2/1= 1/9#.

Polynom s racionálními koeficienty, které mají tyto kořeny

#f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

Pokud si přejeme celočíselné koeficienty, vynásobte číslem 9, abyste získali:

#g (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) #

Můžeme to vynásobit, pokud chceme:

#g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

POZNÁMKAObecněji bychom mohli napsat

#f (x) = (x - alfa ^ 2 / beta) (x - beta ^ 2 / alfa) #

# = x ^ 2 - ((alfa ^ 3 + beta ^ 3) / (alfabeta)) x + alfabeta #

Odpovědět:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Vysvětlení:

Všimněte si, že:

# (x-alfa) (x-beta) = x ^ 2- (alfa + beta) x + alfa beta #

# (x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa) = x ^ 2- (alfa ^ 2 / beta + beta ^ 2 / alfa) x + (alfa ^ 2 / beta) (beta ^ 2 / beta) alfa) #

#color (bílá) ((x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa)) = x ^ 2- (alfa ^ 3 + beta ^ 3) / (alfa beta) x + alfa beta #

#color (bílá) ((x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa)) = x ^ 2 - ((alfa + beta) ^ 3-3alfa beta (alfa + beta)) (alfa beta) x + alfa beta #

V našem příkladu dělíme # 3x ^ 2-4x + 1 # podle #3# my máme:

# {(alfa + beta = 4/3), (alfa beta = 1/3):} #

Tak:

# ((alfa + beta) ^ 3-3alfa beta (alfa + beta) / (alfa beta) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3) (4/3)) / (1/3)) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

Požadovaný polynom může být tedy napsán:

# x ^ 2-28 / 9x + 1/3 #

Vynásobte pomocí #9# získat celočíselné koeficienty:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Odpovědět:

Navrhované řešení níže;

Vysvětlení:

# 3x²-4x + 1 #

Poznámka: #A# je alfa, # b # je beta

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

Pro vytvoření rovnice najdeme součet a produkty kořenů.

Pro součet

# (a²) / b + (b²) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

Ale; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ³-3ab (a + b) #

Proto;

# ((a + b) ³-3ab (a + b)) / (ab) #

Proto nahradíme hodnoty.

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -cancel3 (1 / zrušit3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / cancel27_9) xx (cancel3 / 1) #

#28/9#

Proto je součet #28/9#

Pro produkty

# ((a²) / b) ((b²) / a) #

# ((ab) ²) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1/9 xx 3/1 #

# 1 / cancel9_3 xx cancel3 / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

Proto je produkt #1/3#

# x²- (a + b) x + ab #

# x²- (28/9) x + 1/3 #

# 9x²-28x + 3 #

Násobení pomocí #9#

Snad to pomůže!