Odpovědět:
Nemyslím si, že tato rovnice je platná. Předpokládám #abs (z) # je funkce absolutní hodnoty
Vysvětlení:
Vyzkoušejte dva termíny, # z_1 = -1, z_2 = 3 #
#abs (z_1 + z_2) = abs (-1 + 3) = abs (2) = 2 #
#abs (z_1) + abs (z_2) = abs (-1) + abs (3) = 1 + 3 = 4 #
Proto
#abs (z_1 + z_2)! = abs (z_1) + abs (z_2) #
#abs (z_1 + … + z_n)! = abs (z_1) + … + abs (z_n) #
Možná máte na mysli nerovnost trojúhelníku u složitých čísel:
# | z_1 + z_2 + … + z_ n | le | z_1 | + | z_2 | + … + | z_n | #
Můžeme to zkrátit
# | sum z_i | le sum | z_i |
kde jsou částky #sum_ {i = 1} ^ n #
Lemma. # text {Re} (z) le | z | #
Skutečná část není nikdy větší než velikost. Nechat # z = x + iy # pro některé skutečné #X# a # y #. Jasně # x ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 # a brát odmocniny # x le sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #. Velikost je vždy pozitivní; #X# může nebo nemusí být; tak či onak nikdy není větší než velikost.
Použiju overbar pro konjugát. Zde máme reálné číslo, druhou mocninu, která se rovná produktu konjugátů.Trik je v tom, že se rovná své vlastní skutečné části. Reálná část součtu je součtem reálných částí.
# | sum z_i | ^ 2 = sum_i z_i bar (sum_j z_j) = text {Re} (sum_i z_i bar (sum_j z_j)) = sum_i text {Re} (z_i bar (sum_j z_j)) #
Naším lemmatem a velikostí produktu, který je výsledkem veličin, a velikosti konjugátů jsou stejné,
# | sum z_i | ^ 2 le sum_i | z_i bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | sum_j z_j | #
Můžeme zrušit jeden faktor velikosti součtu # | sum z_i |, což je pozitivní, zachování nerovnosti.
# | sum z_i | le součet z_i | #
To jsme chtěli dokázat.
