Ok, za prvé, máte # x-1 #, # x + 1 #, a # x ^ 2-1 # jako jmenovatel ve vaší otázce. Tak to vezmu, protože otázka implicitně předpokládá #x! = 1 nebo -1 #. To je vlastně dost důležité.
Pojďme zkombinovat zlomek vpravo do jednoho zlomku, # x / (x-1) + 4 / (x + 1) = (x (x + 1)) / ((x-1) (x + 1)) + (4 (x-1)) / ((x-1) (x + 1)) = (x ^ 2 + x + 4x - 4) / (x ^ 2-1) = (x ^ 2 + 5x -4) / (x ^ 2 -1) #
Všimněte si toho # (x-1) (x + 1) = x ^ 2 - 1 # z rozdílu dvou čtverců.
My máme:
# (x ^ 2 + 5x -4) / (x ^ 2 -1) = (4x-2) / (x ^ 2-1) #
Zrušit jmenovatele (násobit obě strany podle # x ^ 2-1 #), # x ^ 2 + 5x -4 = 4x-2 #
Upozorňujeme, že tento krok je možný pouze díky našemu předpokladu na začátku. Zrušení # (x ^ 2-1) / (x ^ 2-1) = 1 # platí pouze pro # x ^ 2-1! = 0 #.
# x ^ 2 + x -2 = 0 #
Tuto kvadratickou rovnici můžeme faktorizovat:
# x ^ 2 + x - 2 = (x - 1) (x + 2) = 0 #
A tudíž, #x = 1 #, nebo #x = -2 #.
Ale ještě jsme neskončili. Toto je řešení kvadratická rovnice, ale ne rovnice v otázce.
V tomto případě, #x = 1 # je cizí roztok, což je další řešení, které je generováno způsobem, jakým řešíme náš problém, ale není skutečným řešením.
Odmítáme to #x = 1 #, z našeho předpokladu dříve.
Proto, #x = -2 #.
