Prokázat, že cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + cosecx = postýlka (x / 8) -cotx?

Prokázat, že cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + cosecx = postýlka (x / 8) -cotx?
Anonim

# LHS = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + cosecx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + cosecx + cotx-cotx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + barva (modrá) 1 / sinx + cosx / sinx -cotx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + barva (modrá) (1 + cosx) / sinx -cotx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + barva (modrá) (2cos ^ 2 (x / 2)) / (2sin (x / 2) cos (x / 2)) - cotx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + barva (modrá) (cos (x / 2) / sin (x / 2)) - cotx #

# = cosec (x / 4) + barva (zelená) (cosec (x / 2) + postýlka (x / 2)) - cotx #

#color (magenta) "Postupuje se podobně jako dříve" #

# = cosec (x / 4) + barva (zelená) dětská postýlka (x / 4) -cotx #

# = postýlka (x / 8) -cotx = RHS #

Odpovědět:

Laskavě projděte Důkaz uvedené v Vysvětlení.

Vysvětlení:

Nastavení # x = 8y #, my máme dokázat,

# cosec2y + cosec4y + cosec8y = coty-cot8y #.

Všimněte si, # cosec8y + cot8y = 1 / (sin8y) + (cos8y) / (sin8y) #, # = (1 + cos8y) / (sin8y) #, # = (2cos ^ 2 4y) / (2sin4ycos4y) #, # = (cos4y) / (sin4y) #.

# "Tak," cosec8y + co8y = cot4y = postýlka (1/2 * 8y) …….. (hvězda) #.

Přidání, # cosec4y #, # cosec4y + (cosec8y + co8y) = cosec4y + cot4y #,

# = postýlka (1/2 * 4y) ……… protože, (hvězda) #.

#:. cosec4y + cosec8y + co8y = cot2y #.

Opětovné přidání # cosec2y # a opakované použití #(hvězda)#, # cosec2y + (cosec4y + cosec8y + co8y) = cosec2y + cot2y #, # = postýlka (1/2 * 2y) #.

#:. cosec2y + cosec4y + cosec8y + co8y = coty, tj. #

# cosec2y + cosec4y + cosec8y = coty-cot8y #, podle přání!

Odpovědět:

Další přístup, který jsem se zřejmě naučil dříve respektován sir dk_ch.

Vysvětlení:

# RHS = dětská postýlka (x / 8) -cotx #

# = cos (x / 8) / sin (x / 8) -cosx / sinx #

# = (sinx * cos (x / 8) -cosx * sin (x / 8)) / (sinx * sin (x / 8)) #

# = sin (x-x / 8) / (sinx * sin (x / 8)) = sin ((7x) / 8) / (sinx * sin (x / 8)) #

# = (2sin ((7x) / 8) * cos (x / 8)) / (2 * sin (x / 8) * cos (x / 8) * sinx) #

# = (sinx + sin ((3x) / 4)) / (sinx * sin (x / 4)) = zrušit (sinx) / (zrušit (sinx) * sin (x / 4)) + (2sin ((3x) / 4) * cos (x / 4)) / (sinx * 2 * sin (x / 4) * cos (x / 4)) #

# = cosec (x / 4) + (sinx + sin (x / 2)) / (sinx * sin (x / 2)) = cosecx + cosec (x / 2) + coesc (x / 4) = LHS #