Jak řešit 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

Odpovědět:

Tuto otázku můžeme řešit graficky.

Vysvětlení:

Daná rovnice # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # může být přepsán jako

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Nyní vezměte tyto dvě funkce jako samostatné funkce

#f (x) = 2e ^ (x) # a #g (x) = 7-2x # a vykreslit jejich graf; jejich průsečíkem bude řešení k dané rovnici # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Toto je zobrazeno níže: -

Odpovědět:

Tenhle je mimo střední školu algebry, a nejlepší způsob, jak to vyřešit, je požádat Wolframa Alphu, který odpoví #x cca.94 #.

Vysvětlení:

Řešit

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Otázky, jako je tento, jsou obecně těžké a odpověď závisí na tom, zda jste v algebře na střední škole nebo hlouběji do matematiky.

Pro střední školy je nejlepším přístupem jen vyzkoušet několik malých čísel a zjistit, zda fungují. (Toto pracuje pro mnoho, mnoho středoškolských matematických problémů, fyi.) Tam je opravdu jen jeden rozumný #X# to dělá # e ^ x # Racionální, # x = 0 #, což není řešení. Takže hádání tady nebude fungovat.

Pokud je aproximace dost dobrá, můžeme ji graficky znázornit nebo graf # 2e ^ x # a # 7-2x # a uvidíme, kde se setkávají.

Ať už je vaše úroveň jakákoli, když se potýkáte s tvrdou, jako je tato, je obvykle dobré se zeptat dostupného experta, kterým je Wolfram Alpha.

Vidíme, že Alpha nám dal přibližnou odpověď, téměř 1, a dokonce vzorec pomocí W (x), který Lambertův produktový deník, který obvykle není součástí matematiky na střední škole.

Neexistuje žádná odpověď pomocí pravidelných funkcí a operací, o nichž víme, na střední škole Algebra. To je obecně pravda, když přidáme termín #X# v exponentu k jednomu kde #X# jako lineární nebo vyšší výkon.

To je konec odpovědi pro většinu studentů. Ale můžeme jít hlouběji. Protokol produktu je zajímavá funkce.Zvažte rovnici

#k = xe ^ x #

Na pravé straně je rostoucí funkce #X#, tak to bude křížit # k # dříve nebo později. Vezmeme-li záznam do loga, nedostanete nás nikam: #ln k = ln x + x #.

Potřebujeme něco jako log, ale ne ten, který je opačný # e ^ x #. Musí to být opačné # xe ^ x #. To se nazývá Log produktu nebo funkce Lambert W, definovaná jako:

#k = xe ^ x # má skutečné řešení #x = W (k) #.

Omezíme naši pozornost na reality. Je zábavné se pokusit objevit # W '#s vlastnostmi. Základní, kterou máme, je

#W (xe ^ x) = x #

Pojďme # x = ye ^ y # v následujícím textu #W (x) = y #. Nyní

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

To je hustý. Co takhle

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)} #

Záznamy, # W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) quad # za předpokladu, že jsou definovány protokoly

Nyní, když vidíte, jaké to je pracovat s W, zjistěte, zda je můžete použít k vyřešení rovnice, nebo ke kontrole řešení Alpha

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #