Z1 + z2 = z1 + z2 pouze tehdy, když arg (z1) = arg (z2), kde z1 a z2 jsou komplexní čísla. jak? prosím vysvětlit!

Odpovědět:

S laskavým odkazem na Diskuse v Vysvětlení.

Vysvětlení:

Nechat, # | z_j | = r_j; r_j gto a arg (z_j) = theta_j v (-pi, pi); (j = 1,2).

#:. z_j = r_j (costheta_j + isintheta_j), j = 1,2.

Jasně, # (z_1 + z_2) = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) + r_2 (costheta_2 + isintheta_2), #

# = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) + i (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2).

Odvolej to, # z = x + iy rArr | z | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2. #

#:. | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) ^ 2 + (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2) ^ 2, #

# = r_1 ^ 2 (cos ^ 2theta_1 + sin ^ 2theta_1) + r_2 ^ 2 (cos ^ 2theta_2 + sin ^ 2theta_2) + 2r_1r_2 (costheta_1costheta_2 + sintheta_1sintheta_2), #

# = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2), #

#rArr | z_1 + z_2 | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) …. (hvězda ^ 1) #.

# "Now Given that," | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 |, #

#iff | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (| z_1 | + | z_2 |) ^ 2 = | z_1 | ^ 2 + | z_2 | ^ 2 + 2 | z_1 || z_2 |, tj., #.

# | (z_1 + z_2) | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2 ……. (hvězda ^ 2).

Z # (hvězda ^ 1) a (hvězda ^ 2) # dostaneme, # 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) = r_1r_2. #

# "Zrušení" r_1r_2 gt 0, cos (theta_1-theta_2) = 1 = cos0.

#:. (theta_1-theta_2) = 2kpi + -0, k v ZZ.

# "Ale," theta_1, theta_2 v (pi, pi), theta_1-theta_2 = 0 nebo # #

# theta_1 = theta_2, "dávat," arg (z_1) = arg (z_2), # tak jako žádoucí!

Ukázali jsme tedy, že

# | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 | rArr arg (z_1) = arg (z_2).

konverzovat lze prokázat na podobných linkách.

Užijte si matematiku!