Odpovědět:
Elipsa
Vysvětlení:
Conics mohou být reprezentovány jako
#p cdot M cdot p + << p, {a, b} >> + c = 0 #
kde #p = {x, y} # a
#M = ((m_ {11}, m_ {12}), (m_ {21}, m_ {22})) #.
Pro kuželosečky #m_ {12} = m_ {21} # pak # M # Vlastní hodnoty jsou vždy reálné, protože matice je symetrická.
Charakteristickým polynomem je
#p (lambda) = lambda ^ 2- (m_ {11} + m_ {22}) lambda + det (M) #
V závislosti na kořenech může být kónus klasifikován jako kuželový
1) Rovný --- kruh
2) Stejný znak a různé absolutní hodnoty --- elipsa
3) Znamení různé --- hyperbola
4) Jeden null root - parabola
V tomto případě máme
#M = ((4,0), (0,8)) #
s charakteristickým polynomem
# lambda ^ 2-12lambda + 32 = 0 #
s kořeny #{4,8}# takže máme elipsu.
Být elipsou je pro ni kanonická reprezentace
# ((x-x_0) / a) ^ 2 + ((y-y_0) / b) ^ 2 = 1 #
# x_0, y_0, a, b # lze stanovit následujícím způsobem
# 4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 28- (b ^ 2 (x-x_0) ^ 2 + a ^ 2 (y-y_0) ^ 2-a ^ 2b ^ 2 = 0 forall x in RR #
dávat
# {(-28 + a ^ 2 b ^ 2 - b ^ 2 x_0 ^ 2 - a ^ 2 y_0 ^ 2 = 0), (2 a ^ 2 y_0 = 0), (8 - a ^ 2 = 0), (-8 + 2 b ^ 2 x_0 = 0), (4 - b ^ 2 = 0):} #
vyřešíme
# {a ^ 2 = 8, b ^ 2 = 4, x_0 = 1, y_0 = 0} #
tak
# {4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 24 = 4} ekv. {(X-1) ^ 2/8 + y ^ 2/4 = 1} # #
