Dokažte to: tan ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / ( 1 + cosx) ^ 2)?

Dokažte to: tan ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / ( 1 + cosx) ^ 2)?
Anonim

Dokázat

# tg ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1+) cosx) ^ 2) #

RHS

# = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (1-sin ^ 2x) ^ 2) / (((1 + cosx ^ 2) - (1-cosx) ^ 2) / (1-cos ^ 2x) ^ 2) #

# = ((4sinx) / cos ^ 4x) / ((4cosx) / (sin ^ 4x)) #

# = sin ^ 5x / cos ^ 5x = tan ^ 5x = LHS #

Se ukázala

To je jeden z těch důkazů, který je snazší pracovat zprava doleva. Začít s:

# ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

Vynásobte čitatel a jmenovatel vložených frakcí "konjugáty" (např. # 1pmsinx # na # 1 x sinx #). Získáte to, např. # (1 + sinx) (1-sinx) = 1-sin ^ 2x #.

# = (((1 + sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1-sinx)) - ((1-sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1 + sinx)))) (((1 + cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1-cosx)) - ((1-cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1 + cosx)) #)

Opakujte předchozí krok, abyste zjednodušili jmenovatele ve vložených zlomcích dále:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2)) - ((1-sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2))) () (1 + cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2) - ((1-cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) #

Použijte identity # 1-sin ^ 2x = cos ^ 2x # a # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x # dostat:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x)) - ((1-sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x))) / (((1 + cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x))) - ((1-cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) #

Spojte zlomky a překlopte, aby se násobily vzájemné hodnoty:

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x)) / (((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) / (sin ^ 4x)) #

# = ((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / ((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) # 2

Rozbalte druhou mocninu:

# = (zrušit (1) + 2sinx + zrušit (sin ^ 2x) - (zrušit (1) -2sinx + zrušit (sin ^ 2x))) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (zrušit (1) + 2cosx + zrušit (cos ^ 2x) - (zrušit (1) -2cosx + zrušit (cos ^ 2x))) #

# = (zrušit (4) sinx) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (zrušit (4) cosx) #

# = barva (modrá) (tan ^ 5x) #