Povrchová teplota Arcturusu je přibližně o polovinu horší než Slunce, ale Arcturus je asi 100krát zářivější než Slunce. Jaký je jeho poloměr ve srovnání se sluncem?

Poloměr Arcturus je 40krát větší než poloměr slunce.

Nechat,

# T = #Teplota povrchu Arcturusu

# T_0 = #Teplota povrchu Slunce

# L = #Svítivost Arcturus

# L_0 = #Svítivost Slunce

Jsme dány, # quadL = 100 L_0 #

Nyní vyjádřete svítivost z hlediska teploty.

Výkon vyzařovaný na jednotku plochy hvězdy je # sigma T ^ 4 # (Stefan-Boltzmannův zákon).

Chcete-li získat celkový výkon vyzařovaný hvězdou (jeho světelností), vynásobte výkon na jednotku plochy povrchu plochou povrchu hvězdy.# = 4 R ^ 2 #, kde # R # je poloměr hvězdy.

Svítivost hvězdy # = (sigma ^ 4) 4pi R ^ 2 #

Pomocí tohoto # L = 100L_0 # lze psát jako

# (sigma ^ 4) 4piR ^ 2 = 100 * (sigmaT_0 ^ 4) 4piR_0 ^ 2 #

kde # R_0 # odkazuje na poloměr slunce.

Přeskupení výše uvedené rovnice dává

# R / R_0 = 10 * (T_0 / T) ^ 2 #

Dostali jsme to # T = T_0 / 2 #. nahrazení výše uvedené rovnice

# R / R_0 = 10 * (2) ^ 2 = 40 #

Poloměr Arcturus je 40krát větší než poloměr slunce.