Jak řešíte systém x ^ 2 + y ^ 2 = 9 a x-3y = 3?

Odpovědět:

Existují dvě řešení tohoto systému: body #(3,0)# a #(-12/5, -9/5)#.

Vysvětlení:

Jedná se o zajímavý systém problémů s rovnicemi, protože poskytuje více než jedno řešení na proměnnou.

Proč se to děje je něco, co můžeme analyzovat právě teď. První rovnice je standardní formulář pro kruh s poloměrem #3#. Druhá je mírně chaotická rovnice pro řádek. Vyčištěno, vypadalo by to takto:

#y = 1/3 x - 1 #

Takže přirozeně, pokud se domníváme, že řešení tohoto systému bude bodem, kde se linie a kruh protínají, neměli bychom se divit, že existují dvě řešení. Jedna, když linka vstoupí do kruhu, a druhá, když odejde. Zobrazit tento graf:

graf {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

Nejprve začneme manipulací s druhou rovnicí:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

Můžeme to vložit přímo do první rovnice, která se má vyřešit # y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

Tato rovnice má samozřejmě dvě řešení. Jeden pro #y = 0 # a další # 9 + 5y = 0 # což znamená #y = -9 / 5 #.

Teď můžeme vyřešit #X# v každém z nich # y # hodnoty.

Li # y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

Li #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

Naše dvě řešení jsou tedy: #(3,0)# a #(-12/5, -9/5)#. Když se podíváte zpět do grafu, můžete vidět, že tyto body jasně odpovídají dvěma bodům, ve kterých čára překročila kruh.