Jak řešíte 3 log x = 6 - 2x?

Odpovědět:

Nejste si jisti, zda to lze vyřešit

Pokud jste na číslo opravdu zvědaví, odpověď zní:

# x = 2.42337 #

Vysvětlení:

Kromě použití Newtonovy metody si nejsem jistý, zda je to možné vyřešit. Jedna věc, kterou můžete udělat, je dokázat, že má přesně jedno řešení.

# 3logx = 6-2x #

# 3logx + 2x-6 = 0 #

Soubor:

#f (x) = 3logx + 2x-6 #

Definováno pro #x> 1 #

#f '(x) = 3 / (xln10) + 2 #

#f '(x) = (3 + 2xln10) / (xln10) #

Pro každého #x> 1 # jak čitatel, tak jmenovatel jsou pozitivní, takže funkce roste. To znamená, že může mít maximálně jedno řešení (1)

Nyní najít všechny hodnoty #f (x) # #x> 1 # prostředek #x in (0, oo) #:

#lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_x -> (0 ^ +) (3logx + 2x-6) = - oo #

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) (3logx + 2x-6) = oo #

Proto, #f (x) # může mít jakoukoliv skutečnou hodnotu, včetně 0, což znamená, že #f (x) = 0 <=> 3logx + 2x-6 = 0 # může být roztokem alespoň jednou (2)

(1) + (2) = (maximálně jeden) + (alespoň jeden) = Přesně jeden