Který z následujících má maximální počet skutečných kořenů?

Odpovědět:

# x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 # s #4# skutečné kořeny.

Vysvětlení:

Všimněte si, že kořeny:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

jsou podmnožinou spojení kořenů dvou rovnic:

# {(ax ^ 2 + bx + c = 0), (ax ^ 2-bx + c = 0):} #

Všimněte si, že pokud jedna z těchto dvou rovnic má dvojici skutečných kořenů, pak to udělá i druhá, protože mají stejnou diskriminaci:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

Dále si všimněte, že pokud #a, b, c # všichni pak mají stejné znamení # ax ^ 2 + b abs (x) + c # bude vždy brát hodnoty tohoto znamení, když #X# je skutečný. Takže v našich příkladech, protože # a = 1 #můžeme okamžitě poznamenat, že:

# x ^ 2 + 3 abs (x) +2> = 2 #

tak nemá nuly.

Podívejme se na další tři rovnice:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-x-2 = (x-2) (x + 1) => x v {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = (x +2) (x-1) => x v {-2, 1}):} #

Pokusíme-li se každý z nich, najdeme řešení #x v {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) => x v {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) => x v {-1, -2}):} #

Zkouškou každého z nich nacházíme všechna řešení původní rovnice, tj. #xv {-2, -1, 1, 2} #

Alternativní metoda

Všimněte si, že skutečné kořeny # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (kde #c! = 0 #) jsou pozitivní skutečné kořeny # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

Abychom zjistili, která z uvedených rovnic má nejpravděpodobnější kořeny, je ekvivalentní zjištění, které z odpovídajících obyčejných kvadratických rovnic má nejvíce pozitivních kořenů.

Kvadratická rovnice se dvěma pozitivními kořeny má ve vzoru znaky #+ - +# nebo #- + -#. V našem příkladu je první znamení vždy pozitivní.

Z uvedených příkladů mají pouze druhý a třetí koeficient ve vzoru #+ - +#.

Druhou rovnici můžeme zlevnit # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # protože jeho diskriminační je negativní, ale pro třetí rovnici najdeme:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

má dva pozitivní skutečné kořeny, poddajné #4# kořenů rovnice # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #