Ať vec (v_1) = [(2), (3)] a vec (v_1) = [(4), (6)] co je rozpětí vektorového prostoru definovaného vec (v_1) a vec (v_1)? Podrobně vysvětlete svou odpověď?

Odpovědět:

# "span" ({vecv_1, vecv_2}) = lambdainF #

Vysvětlení:

Typicky mluvíme o rozpětí množiny vektorů, nikoli celého vektorového prostoru. Pak budeme pokračovat ve zkoumání rozpětí # {vecv_1, vecv_2} # uvnitř daného vektorového prostoru.

Rozpětí sady vektorů ve vektorovém prostoru je soubor všech konečných lineárních kombinací těchto vektorů. To je dané podmnožinou # S # vektorového prostoru nad polem #F#, my máme

# "span" (S) = ninNN, s_iinS, lambda_iinF #

(množina nějaké konečné sumy s každým termínem být produkt skalární a element # S #)

Pro jednoduchost budeme předpokládat, že daný vektorový prostor je nad nějakým podpolí #F# z # CC #. Poté, s použitím výše uvedené definice:

# "span" ({vecv_1, vecv_2}) = lambda_iinF #

# = lambda_1vecv_1 + lambda_2vecv_2 #

Ale všimněte si toho # vecv_2 = 2vecv_1 #, a tak pro všechny # lambda_1, lambda_2inF #,

# lambda_1vecv_1 + lambda_2vecv_2 = lambda_1vecv_1 + lambda_2 (2vecv_1) = (lambda_1 + 2lambda_2) vecv_1 #

Pak, jako jakákoliv lineární kombinace # vecv_1 # a # vecv_2 # může být vyjádřen jako skalární násobek # vecv_1 #a jakýkoliv skalární násobek # vecv_1 # může být vyjádřena jako lineární kombinace # vecv_1 # a # vecv_2 # nastavením # lambda_2 = 0 #, my máme

# "span" ({vecv_1, vecv_2}) = lambdavecv_1 #