Reálná čísla a, b a c odpovídají rovnici: 3a ^ 2 + 4b ^ 2 + 18c ^ 2 - 4ab - 12ac = 0. Tím, že vytvoříte dokonalé čtverce, jak dokážete, že a = 2b = c?

Odpovědět:

# a = 2b = 3c #, Viz vysvětlení a důkaz níže.

Vysvětlení:

# 3a ^ 2 + 4b ^ 2 + 18c ^ 2-4ab-12ac = 0 #

Všimněte si, že koeficienty jsou všechny, kromě a ^ 2, tj. 3, přepište následovně na skupinu pro faktoring:

# a ^ 2-4ab + 4b ^ 2 + 2a ^ 2-12ac + 18c ^ 2 = 0 #

# (a ^ 2-4ab + 4b ^ 2) +2 (a ^ 2-6ac + 9c ^ 2) = 0 #

# (a - 2b) ^ 2 + 2 (a-3c) ^ 2 = 0 #

Máme dokonalý čtvercový termín plus dvakrát dokonalý čtverec jiného výrazu rovného nule, aby to bylo pravdivé, každý termín součtu musí být roven nule, pak:

# (a - 2b) ^ 2 = 0 # a # 2 (a-3c) ^ 2 = 0 #

# a-2b = 0 # a # a-3c = 0 #

# a = 2b # a # a = 3c #

tím pádem:

# a = 2b = 3c #

Proto se ukázalo.