Co je lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) jako x se blíží 1 z pravé strany?

# 1 / e #

# x ^ (1 / (1-x)) #:

graf {x ^ (1 / (1-x)) -2,064, 4,095, -1,388, 1,74}

No, bylo by to mnohem snazší, kdybychom to prostě vzali # ln # obou stran. Od té doby # x ^ (1 / (1-x)) # je spojitý v otevřeném intervalu vpravo od #1#můžeme říci, že:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

Od té doby #ln (1) = 0 # a #(1 - 1) = 0#, to je forma #0/0# platí pravidlo L'Hopital:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

A samozřejmě, # 1 / x # je spojitá z každé strany #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

V důsledku toho je původní limit:

#color (modrá) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = barva (modrá) (1 / e) #