Počet způsobů, jak rozdělit 52 karet mezi čtyři hráče tak, aby měli tři hráči po 17 kartách a čtvrtý hráč zůstal pouze s jednou kartou?

Odpovědět:

# (((52), (17)) ((35), (17)) ((18), (17)) ((1), (1)) / 6 ~ ~ 2.99xx10 ^ 23 # způsoby

Vysvětlení:

Nejprve se podívejme, že se jedná o problém s kombinací - nezajímá nás pořadí, ve kterém jsou karty rozdávány:

#C_ (n, k) = ((n), (k)) = (n!) / ((K!) (N-k)!) # s # n = "populace", k = "výběr" #

Jedním ze způsobů, jak to udělat, je zjistit, že pro první osobu vybereme 17 z 52 karet:

#((52),(17))#

Pro druhou osobu vybereme 17 karet ze zbývajících 35 karet:

#((52),(17))((37),(17))#

a můžeme udělat totéž pro dalšího hráče:

#((52),(17))((35),(17))((18),(17))#

a můžeme zadat i poslední termín pro posledního hráče:

#((52),(17))((35),(17))((18),(17))((1),(1))#

A teď pro poslední bit - nastavili jsme to tak, že existuje určitá první osoba, pak druhá osoba, pak třetí osoba, pak poslední osoba - což by mohlo být v pořádku, ale s první osobou zacházíme jinak než s druhou osobou a ty dva se liší od třetího, i když mají být ve své metodě kreslení shodné. Udělali jsme objednávku důležitou a objednávka je koncept permutace (více viz níže).

Nechceme, aby byl řád důležitý, a tak je třeba rozdělit podle počtu způsobů, jak můžeme uspořádat tři lidi - což je #3! = 6#

To vše dává:

# (((52), (17)) ((35), (17)) ((18), (17)) ((1), (1)) / 6 ~ ~ 2.99xx10 ^ 23 # způsoby

~~~~~

Podívejme se na mnohem menší příklad, abychom viděli poznámku na objednávku. Vezměme si 5 položek a rozdáme je mezi 3 osoby: 2 osoby dostanou po 2 položkách a poslední osoba dostane zbývající položku. Stejným způsobem jsme provedli:

# ((5), (2)) ((3), (2)) ((1), (1)) = 10xx3xx1 = 30 # způsoby

Ale pokud je skutečně spočítáme:

A, BC, DE

A, BD, CE

A, BE, CD

B, AC, DE

B, AD, CE

B, AE, CD

C, AB, DE

C, AD, BE

C, AE, BD

D, AB, CE

D, AC, BE

D, AE, BC

E, AB, CD

E, AC, BD

E, AD, BC

existuje jen 15. Proč? Ve výpočtu jsme udělali jednoznačnou první osobu a druhou osobu (jeden si vybere z 5, další si vybere z 3) a tak jsme si objednali záležitost. Rozdělením počtu lidí, kteří mají být rovni, ale nejsou ve výpočtu, rozdělíme pořadí, nebo počet lidí, kteří mají být rovni, ale nejsou faktoriálni. V tomto případě je toto číslo 2 a tak #2! = 2#, který dává:

#30/2=15# správná odpověď